[ZihanLab周报 #2]竖直上抛运动公式总结
竖直上抛运动公式总结
匀变速直线运动的特例分析
竖直上抛运动是匀变速直线运动的一个特例，其特点是初速度方向竖直向上，加速度为重力加速度 g（方向竖直向下，通常取 g = 9.8 m/s² 或近似取 g = 10 m/s²）。
掌握这些公式和理解其背后的对称性，是解决竖直上抛运动问题的关键。
核心公式（匀变速直线运动在竖直方向的应用）
1
瞬时速度 v
v = v₀ - g·t
说明： v₀ 是初速度（向上为正），g 是重力加速度（取正值），t 是运动时间。上升过程中 v > 0，下降过程中 v < 0，最高点 v = 0。
2
位移 h（相对于抛出点）
h = v₀·t - (1/2)·g·t²
说明： 位移 h 是矢量。h > 0 表示物体在抛出点上方，h < 0 表示在抛出点下方（如果运动时间足够长），h = 0 表示回到抛出点。
3
速度-位移关系（不含时间 t）
v² = v₀² - 2·g·h
说明： 非常实用的公式，直接关联某位置的速度和高度。上升阶段 v 减小，下降阶段 v 增大（数值上），同一高度处速度大小相等、方向相反（不计空气阻力）。
重要推论与特征量
4
上升到最高点的时间 tᵤₚ
tᵤₚ = v₀ / g
说明： 最高点速度 v = 0，代入速度公式即可得到。这是物体从抛出点到最高点所需的时间。
5
最大高度 H
H = v₀² / (2·g)
说明： 将 v = 0 和 h = H 代入速度-位移关系式即可得到。这是物体能达到的最高点相对于抛出点的高度。
6
从最高点落回抛出点的时间 tₙ
tₙ = v₀ / g
说明： 从最高点自由下落回抛出点的时间。等于上升到最高点的时间 tᵤₚ。
7
总运动时间 T（从抛出到落回抛出点）
T = 2·tᵤₚ = 2·v₀ / g
说明： 上升时间和下落时间相等（对称性）。
8
落回抛出点时的速度 vₑ
vₑ = -v₀
说明： 速度大小与初速度 v₀ 相同，方向竖直向下（负号表示方向）。由速度公式在 t = T = 2v₀/g 时得到，或由能量守恒直接得出。
对称性（关键特征）
时间对称性
物体通过同一高度时，上升过程所用时间与下降过程所用时间相等。
速度对称性
物体通过同一高度时，速度大小相等、方向相反（上升时为正值，下降时为负值）。
能量公式（如果考虑机械能守恒）
9
机械能守恒
(1/2)·m·v₀² + m·g·h₀ = (1/2)·m·v² + m·g·h
说明： 通常设抛出点 h₀ = 0，则公式简化为 (1/2)·v₀² = (1/2)·v² + g·h。这可以用来推导速度-位移关系。
实用提示
正方向： 解题时务必先规定正方向（通常取向上为正）。所有矢量（速度、位移、加速度）都根据方向代入符号。
加速度： 无论上升还是下降，加速度始终是 -g（如果向上为正方向）。
h 的含义： 公式中的 h 指的是相对于抛出点的位移（位置坐标），不是路程。
实例演示
重力加速度 g
10 m/s²
初速度 v₀
20 m/s
上升到最高点时间：
tᵤₚ = v₀ / g = 20 / 10 = 2 s
最大高度：
H = v₀² / (2g) = (20)² / (2×10) = 400 / 20 = 20 m
总运动时间：
T = 2 × tᵤₚ = 2 × 2 = 4 s
t = 1s 时 (上升过程中)：
速度 v = 20 - 10×1 = 10 m/s (向上)
位移 h = 20×1 - (1/2)×10×(1)² = 20 - 5 = 15 m (在抛出点上方15m)
t = 3s 时 (下降过程中)：
速度 v = 20 - 10×3 = -10 m/s (向下)
位移 h = 20×3 - (1/2)×10×(3)² = 60 - 45 = 15 m (也在抛出点上方15m，验证了对称性)
t = 4s 时 (落回抛出点)：
速度 v = 20 - 10×4 = -20 m/s (即 vₑ = -v₀)
位移 h = 20×4 - (1/2)×10×(4)² = 80 - 80 = 0 m
