[ZihanLab周报 #4]物理向心加速度、向心力计算公式与推导
向心加速度与向心力公式推导
圆周运动中的加速度与力的数学表达
向心加速度公式的多种表达形式
\[ a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r = \frac{4\pi^2 r}{T^2} = 4\pi^2 r f^2 = v \omega \]
推导 \( a_c = \frac{v^2}{r} \)
对于匀速圆周运动，在时间 \(\Delta t\) 内，角度变化 \(\Delta \theta\)，弧长 \(s = r \Delta \theta = v \Delta t\)
因此 \(\Delta \theta = \frac{v \Delta t}{r}\)
速度变化大小 \(|\Delta \mathbf{v}| \approx v \Delta \theta\)（小角度近似）
所以 \(|\Delta \mathbf{v}| \approx v \cdot \frac{v \Delta t}{r} = \frac{v^2 \Delta t}{r}\)
向心加速度 \(a_c = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{|\Delta \mathbf{v}|}{\Delta t} = \frac{v^2}{r}\)
推导 \( a_c = \omega^2 r \)
由角速度定义 \(\omega = \frac{v}{r}\)，得 \(v = \omega r\)
代入 \(a_c = \frac{v^2}{r}\):
\[ a_c = \frac{(\omega r)^2}{r} = \frac{\omega^2 r^2}{r} = \omega^2 r \]
推导 \( a_c = \frac{4\pi^2 r}{T^2} \)
线速度 \(v = \frac{2\pi r}{T}\)（周长除以周期）
代入 \(a_c = \frac{v^2}{r}\):
\[ a_c = \frac{\left( \frac{2\pi r}{T} \right)^2}{r} = \frac{\frac{4\pi^2 r^2}{T^2}}{r} = \frac{4\pi^2 r^2}{T^2 r} = \frac{4\pi^2 r}{T^2} \]
推导 \( a_c = 4\pi^2 r f^2 \)
由频率定义 \(f = \frac{1}{T}\)，得 \(f^2 = \frac{1}{T^2}\)
代入 \(a_c = \frac{4\pi^2 r}{T^2}\):
\[ a_c = \frac{4\pi^2 r}{T^2} = 4\pi^2 r f^2 \]
推导 \( a_c = v \omega \)
由 \(v = \omega r\)，得:
\[ v \omega = v \cdot \frac{v}{r} = \frac{v^2}{r} = a_c \]
或:
\[ v \omega = \omega r \cdot \omega = \omega^2 r = a_c \]
向心力公式总结
\[ \boxed{F_c = \frac{m v^2}{r} = m \omega^2 r = m v \omega = \frac{4\pi^2 m r}{T^2}} \]
向心力公式的推导
推导 \( F_c = \frac{m v^2}{r} \)
设质点匀速圆周运动，速度 \(v\)，半径 \(r\)
在时间 \(\Delta t\) 内速度变化量 \(\Delta v\)，由几何相似性：
\[ \frac{|\Delta v|}{v} = \frac{v \Delta t}{r} \]
得向心加速度：
\[ a_c = \frac{|\Delta v|}{\Delta t} = \frac{v^2}{r} \]
牛顿第二定律：
\[ F_c = m a_c = m \cdot \frac{v^2}{r} \]
推导 \( F_c = m \omega^2 r \)
代入 \( v = \omega r \)：
\[ F_c = m \frac{(\omega r)^2}{r} = m \omega^2 r \]
推导 \( F_c = m v \omega \)
由 \( v = \omega r \)：
\[ F_c = m \cdot v \cdot \left( \frac{v}{r} \right) = m v \omega \]
推导 \( F_c = \frac{4\pi^2 m r}{T^2} \)
代入 \( \omega = \frac{2\pi}{T} \)：
\[ F_c = m \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 r = \frac{4\pi^2 m r}{T^2} \]
