欧拉公式推导

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基本泰勒级数推导

泰勒级数允许我们将光滑函数表示为幂级数形式。函数 在 处的麦克劳林级数为：

其中 是 在 处的 阶导数。

1. 指数函数 的泰勒级数

指数函数 具有关键性质：所有阶导数均等于自身，即 。在 处，。代入麦克劳林级数公式：

该级数对任意实数 收敛。

2. 正弦函数 的泰勒级数

正弦函数 的导数周期为4：

• ,

• ,

• ,

• ,

• , ，周期重复。

代入麦克劳林级数，仅奇次项非零，符号交替：

3. 余弦函数 的泰勒级数

余弦函数 的导数周期同样为4：

• ,

• ,

• ,

• ,

• , ，周期重复。

代入麦克劳林级数，仅偶次项非零，符号交替：

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核心推导步骤

步骤1：将 代入指数级数

考虑指数函数 ，其中 是虚数单位。将 代入 的泰勒级数：

步骤2：简化虚数幂次

利用虚数单位 的幂次周期性（, , , ，周期为4）：

• 依此类推。

代入级数：

步骤3：分离实部和虚部

将级数中的实部项（不含 的项）和虚部项（含 的项）分组：

• 实部：

• 虚部：

因此：

步骤4：与三角级数对比

观察实部和虚部的级数：

• 实部级数正好是 的泰勒级数：

• 虚部级数（除去 ）正好是 的泰勒级数：

步骤5：得出欧拉公式

将实部和虚部替换为三角函数，直接得到：

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最终结果

推论

当 时，代入欧拉公式：

得到欧拉恒等式：

该等式被誉为“数学中最美的公式”，因为它连接了五个基本数学常数：, , , , 。