微分习题集

第一组：基本导数规则（幂函数、常数、多项式）

• $f(x)=4$

• $f(x)=x^4$

• $f(x)=3x^2-5x+2$

• $f(x)=\frac{1}{x}$

• $f(x)=\sqrt{x}$

• $f(x)=\frac{2}{x^3}+4x$

• $f(x)=(x^3-1)(x+2)$

• $f(x)=\sqrt[3]{x}+x^{-2}$

• $f(x)=x^{5/2}-3x^{-1/2}$

• $f(x)=\frac{x^4-3x^2+x}{x}$

第二组：乘积法则和商法则

• $f(x)=(x+1)(x-3)$

• $f(x)=(2x-5)(3x+1)$

• $f(x)=\frac{x}{x+1}$

• $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$

• $f(x)=(x^3-2)(x^2+4)$

• $f(x)=\frac{2x}{x^2-3}$

• $f(x)=(x+1{)}^2(x-2)$

• $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$

• $f(x)=(3x+2)\sqrt{x}$

• $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$

第三组：链式法则（复合函数）

• $f(x)=(3x-2{)}^4$

• $f(x)=\sqrt{2x+1}$

• $f(x)=\frac{1}{(x^2-1{)}^2}$

• $f(x)=(x^3+2x{)}^3$

• $f(x)=\sqrt[4]{x^2+3}$

• $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$

• $f(x)={\left(\frac{x}{x-1}\right)}^2$

• $f(x)=(2x^2-3x+1{)}^{-1}$

• $f(x)=\sqrt{1+\sqrt{x}}$

• $f(x)={\left(\frac{1-x}{1+x}\right)}^3$

第四组：三角函数的导数

• $f(x)=\sin x$

• $f(x)=\cos x$

• $f(x)=\tan x$

• $f(x)=\sec x$

• $f(x)=x\cos x$

• $f(x)=\sin (4x)$

• $f(x)=\cos (x^3)$

• $f(x)=\tan (2x)$

• $f(x)=\sin x\cos x$

• $f(x)=\sec x\tan x$

第五组：指数和对数函数的导数

• $f(x)=e^x$

• $f(x)=3^x$

• $f(x)=\ln x$

• $f(x)={\log }_{3}x$

• $f(x)=e^{-2x}$

• $f(x)=\ln (3x+1)$

• $f(x)=x{e}^x$

• $f(x)=\ln (x^2+4)$

• $f(x)=e^{x\sin x}$

• $f(x)=\ln \left(\frac{e^x}{x}\right)$

第六组：隐函数微分

• $x^2+y^2=9$

• $x^3+y^3=8$

• $xy=6$

• $x^{2}y+y=10$

• $\sin y=x$

• $e^y=x+y$

• $\ln (x+y)=xy$

• $x^2\cos y+y^2\sin x=1$

• $\sqrt{x}+\sqrt{y}=5$

• $(x+y{)}^2=x^{2}y$

第七组：高阶导数

• $f(x)=x^5$ (二阶)

• $f(x)=\cos x$ (二阶)

• $f(x)=e^{3x}$ (二阶)

• $f(x)=\ln x$ (二阶)

• $f(x)=\tan x$ (二阶)

• $f(x)=2x^3-4x^2+x$ (三阶)

• $f(x)=\frac{1}{x}$ (二阶)

• $f(x)=x\sin x$ (二阶)

• $f(x)=\sqrt{x}$ (二阶)

• $f(x)=e^{-x^2}$ (二阶)

第八组：反三角函数的导数

• $f(x)=\arcsin x$

• $f(x)=\arccos x$

• $f(x)=\arctan x$

• $f(x)=\arcsin (3x)$

• $f(x)=\arctan (x^3)$

• $f(x)=x\arccos x$

• $f(x)=\arcsin (\sqrt{x})$

• $f(x)=\frac{\arctan x}{x}$

• $f(x)=\sin (\arctan x)$

• $f(x)=\ln (\arccos x)$

第九组：参数方程和相关率

• $x=t,y=t^3$

• $x=3t,y=t^2$

• $x=\cos t,y=\sin t$

• $x=e^t,y=e^{2t}$

• $x=t^2+1,y=t^3-2$

• $x=\ln t,y=t$

• $x=\sqrt{t},y=\frac{1}{t}$

• $x=2\sin t,y=3\cos t$

• $x=\arctan t,y=\arcsin t$

• $x=t\cos t,y=t\sin t$

第十组：综合应用和高级问题

• $f(x)=e^x\cos x$

• $f(x)=\ln \left(\frac{\sin x}{x}\right)$

• $x^3+y^3=xy$ (隐函数)

• $x=t^3,y=t^2+t$ (参数方程)

• $V=\frac{4}{3}\pi r^3,r=3,\frac{dr}{dt}=2$ (相关率)

• $f(x)=\sin (\ln x)$

• $f(x)=\arctan (e^x)$

• $a^2+b^2=c^2,a=3,b=4,\frac{da}{dt}=1,\frac{db}{dt}=-2$ (相关率)

• $f(x)=x^x$

• $f(x)=\frac{\cos x}{1+\sin x}$

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答案集

第一组答案

• $0$

• $4x^3$

• $6x-5$

• $-\frac{1}{x^2}$

• $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

• $-\frac{6}{x^4}+4$

• $4x^3+6x^2-x-2$

• $\frac{1}{3}{x}^{-2/3}-2x^{-3}$

• $\frac{5}{2}{x}^{3/2}+\frac{3}{2}{x}^{-3/2}$

• $-3x^2-2x+1$

第二组答案

• $2x-2$

• $12x-7$

• $\frac{1}{(x+1{)}^2}$

• $-\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}$

• $5x^4-6x+12x^2-8$

• $\frac{-2x^2-6}{(x^2-3{)}^2}$

• $3x^2-2x-4$

• $\frac{4x}{(x^2+1{)}^2}$

• $\frac{3x^{1/2}}{2}+\frac{3}{2}{x}^{-1/2}+x^{-1/2}$

• $\frac{-\frac{1}{2}{x}^{-1/2}(x+1)+x^{1/2}}{(x+1{)}^2}$

第三组答案

• $12(3x-2{)}^3$

• $\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

• $-\frac{4x}{(x^2-1{)}^3}$

• $3(x^3+2x{)}^2(3x^2+2)$

• $\frac{x}{2(x^2+3{)}^{3/4}}$

• $\frac{1}{2(1-x{)}^{3/2}}$

• $-\frac{2x}{(x-1{)}^3}$

• $-(2x^2-3x+1{)}^{-2}(4x-3)$

• $\frac{1}{4\sqrt{x}\sqrt{1+\sqrt{x}}}$

• $-\frac{6(1-x{)}^2}{(1+x{)}^4}$

第四组答案

• $\cos x$

• $-\sin x$

• ${\sec }^{2}x$

• $\sec x\tan x$

• $-x\sin x+\cos x$

• $4\cos 4x$

• $-3x^2\sin (x^3)$

• $2{\sec }^2(2x)$

• $\cos 2x$

• $\sec x({\sec }^{2}x+{\tan }^{2}x)$

第五组答案

• $e^x$

• $3^x\ln 3$

• $\frac{1}{x}$

• $\frac{1}{x\ln 3}$

• $-2e^{-2x}$

• $\frac{3}{3x+1}$

• $e^x(x+1)$

• $\frac{2x}{x^2+4}$

• $e^{x\sin x}(\sin x+x\cos x)$

• $\frac{1}{x}$

第六组答案

• $-\frac{x}{y}$

• $-\frac{x^2}{y^2}$

• $-\frac{y}{x}$

• $-\frac{2xy}{x^2+1}$

• $\frac{1}{\cos y}$

• $\frac{1-y}{x+y-1}$

• $\frac{y-\frac{1}{x+y}}{1-x}$

• $-\frac{2x\cos y-y^2\cos x}{x^2\sin y+2y\sin x}$

• $-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$

• $-\frac{2x+2y-2xy}{2x+2y+x^2}$

第七组答案

• $20x^3$

• $-\cos x$

• $9e^{3x}$

• $-\frac{1}{x^2}$

• $2{\sec }^{2}x\tan x$

• $12x-8$ (三阶导数)

• $\frac{2}{x^3}$

• $-x\sin x+2\cos x$

• $-\frac{1}{4x^{3/2}}$

• $(4x^2-2)e^{-x^2}$

第八组答案

• $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

• $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

• $\frac{1}{1+x^2}$

• $\frac{3}{\sqrt{1-(3x{)}^2}}$

• $\frac{3x^2}{1+x^6}$

• $\arccos x-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

• $\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}$

• $\frac{\frac{1}{1+x^2}\cdot x-\arctan x}{x^2}$

• $\frac{1}{1+x^2}$

• $-\frac{1}{\arccos x\sqrt{1-x^2}}$

第九组答案

• $3t^2$

• $\frac{2t}{3}$

• $-\cot t$

• $2e^t$

• $\frac{3t}{2}$

• $t$

• $-2t^{-3}$

• $-\frac{3}{2}\cot t$

• $\frac{\sqrt{1-t^2}}{1+t^2}\cdot (1+t^2)$

• $\frac{\sin t+t\cos t}{\cos t-t\sin t}$

第十组答案

• $e^x(-\sin x+\cos x)$

• $-\frac{\sin x+x\cos x}{x\sin x}$

• $-\frac{3x^2-y}{3y^2-x}$

• $\frac{2t+1}{3t^2}$

• $72\pi$

• $\frac{\cos (\ln x)}{x}$

• $\frac{e^x}{1+e^{2x}}$

• $-1$

• $x^x(\ln x+1)$

• $-\frac{1}{1+\sin x}$