[初中资源][数学]格点作图问题的技巧（二）

转知乎作者“The walk”文章

讲了基本的作图方法，现在正片才开始。

实际上格点作图一般都要通过计算得出，网格就构成了良好的直角坐标系，往往可以通过建系来解决问题，但我尽量避免这么做。

目录

计算

圆

一，计算

八字相似

1）在线段AB取一点E，使得AE:EB=3:2

这问题我推荐八字相似，具体做法：

做法，在AB的两侧作线段AC,BD，使得AC\\BD且AC:BD=3:2，CD与AB交于E，易得 $\mathrm{△}���\sim \mathrm{△}���$ ，所以AE:EB=3:2

2）

F,E是AB,CD与网格的交点，求作FE的中点

做法：8字

作GH,GI，分别交于网格J,K，JK与EF交于L

易得FJ=EK=1，全等（相似）得L是中点。

3）

C,E是AB与网格的交点，求作△DCE重心。

做法1：取CE中点F，不难得F是边中点，取边中点I，连接JI，交DF于K

显然IF//DJ，且IF:DJ=1:2,相似与重心性质，K是重心

两条中线交点的就不说了，也可以做。

面积

1)

在DE右侧构造一个矩形，使得DE是它的一边，且面积与△ABC相等

做法:

算出△ABC面积（割补法）

DE=2，那么矩形另一边长为2.75=11/4

二，圆

由于网格作图的工具只有直尺，所以没办法作圆，只有题目给定的圆。

圆心

1)

E是边中点，求作经过ABE三点的圆的圆心。

做法：

这个圆是△ABE的外接圆，我们只需找出三角形的外心。作垂直平分线。

AB的垂直平分线好做，接下来做BE垂直平分线

做正方形BEIL，可知I是中点，L是小正方形中心

取大正方形中心N，做出BE垂直平分线MN交FG于点O，O为圆心

角平分线

1)

ABC的外接圆交网格于E,D，作∠ADE平分线

做法，利用等弧对等角，找出 $$弧AE中点，可以利用垂径定理。

连接AE交网格G，可知G是中点，因为ED是直径，所以F是圆心，连接GF交弧AE于H，可知H是弧中点，HD是角平分线。

切线

1)ABC的外接圆，求作经过A的一条直线与圆相切

做法：因为A在圆上所以我们要做一条直线，与经过A点的直径的直线垂直

由于AC是直径，做出AD⊥AC，切线性质得到AD与圆相切

2）

A是圆心，B是格点，C是圆与网格的交点，求作经过C的切线。

做法1：构造AC垂直

延长CA交圆于D。延长DE交网格于F，CF所求

易得E是FD的中点，A是CD中点，∴AE//FC，由于AE⊥CD，∴FC⊥CD，FC是切线。

做法2：

不难注意到C点的切线是水平的（平行于网格）

延长CB交网格于D，连接DE交网格于点F，CF所求

易得C是BD中点，F是DE中点，FC//EB，根据刚才的结论可知FC是切线。

3）

作经过B关于圆A的切线。

做法:

一个结论：如图，做F关于圆C的切线

取CF中点E，以E圆心，EF半径作圆，交圆C与G,H。G,H就是切点

因为CF是直径，∴CGF=90°，GF自然就相切，注意到GH⊥CF，我们只要找出I点并做垂线就能找出G,H。

所以要计算出CI长度，利用两个90°就可以知道 $��=\frac{�{�}^2}{��}$

回到原题，假设C是那就是个点，半径=1，AB= $\sqrt{13}$ 那么计算得到AC= $\frac{1}{13}\sqrt{13}$

所以要把AC：CB $=\frac{1}{12}=\frac{0.5}{6}$ ，用八字相似。

AF:CB=1:12,∴G是我们要的点

接着作垂直，刚好CF就是经过G的垂线，取它与圆的交点H,I，BH,IB所求。

最后我讲一下2019天津中考数学第18题

△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠A=30°，∠B=50°，经过点A、B的圆的圆心在边AC上。求作一点P，使其满足∠PAC=PBC=PCB

我就不说具体做法了,就说一下这题的三个答案

我们将△ABC单独拿出来看，根据条件,图中的三个标出的角相等,P在BC中垂线上

作三角形ACP的外接圆,根据弦切角逆定理，可知圆与CB相切,满足这样的P点有两个,就是下图中P,D的位置。

另外,作出三角形ABC的外接圆,并取劣弧BC中点P,此时P点也满足题意

并且这三点都是可以用无刻度尺子找到的,是因为我们可以找到题目所给圆的圆心,当我们已知一个圆以及圆心,就可以只用直尺完成尺规作图可以做的事,上面的三个点都可以用尺规作图找到.

END