[初中资源][数学]格点作图问题的技巧（三）

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解析

正三角形

解析

此题出自Pythagorea的22.17

E是AB,CD的交点，求作一个△AED内接菱形，使得它们有公共∠E

注意到E是菱形的一个顶点，AE,ED是菱形两条边，我们利用菱形的一些性质确定出另一个点

如图，IFHJ是菱形①那么IJ与FH互相垂直平分②FH平分∠IFJ与∠IHJ。

利用第二条性质，作出∠AED平分线交AD的点就是与F相对的菱形顶点。

利用之前作角平分线的方法作出BF与IH交点J，EJ就是角平分线，EJ与AD的交点K就是我们要的点。

为了方便讲解，我会去除一些没用的线。

接下来有两条路可以走，一，K点作关于AE,DE的平行线；二，作出KE的垂直平分线。

至于第一种方法，我觉得有那么亿点复杂，所以我用方法二

对于方法二，我选择先以C点为原点作平面直角坐标系，一格的长度是1（绿线表示）

这样我们很容易可以得到AB,CD,AD的解析式 ${�}_{��}=2�+1$与 ${�}_{��}=\frac{1}{2}�$和 ${�}_{��}=-\frac{1}{3}�+\frac{10}{3}$

联立得 $�(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3})$ 不难得EK的角平分线的斜率是1，即K=1，得到 ${�}_{��}=�+\frac{1}{3}$

可以算出 $�(\frac{9}{4},\frac{31}{12})$ ,根据中点坐标公式，得出EK的中点L坐标为 $�(\frac{19}{24},\frac{27}{24})$

接着要做L关于EK的垂线，互相垂直的直线斜率是负倒数，即 ${�}_1\times {�}_2=-1$ ,那么我们可以算出这个垂线的解析式为 $�=-�+\frac{23}{12}$ ，

假设MO是EK中垂线，根据刚才算的结果， $��=��=\frac{1}{12}$ ,所以我们要构造1/12长度，只需注意 $\frac{1}{12}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}$ 这样就可以构造1/12长度了

N,S都是四等分点，再将这段长度缩小至原来1/3就得到了U，P两点，连接UP，与AE,ED交于V,W，四边形EVWK就是菱形。

很显然计算省了很多步骤，比如我可以不取EK中点也可以做出中垂线，甚至我们计算出EK的截距是1/3后可以直接构造出1/3长度从而作平分线，所以说计算可以让过程更简洁。当然也有他的缺点，就是计算复杂，但是这个没办法避免。

你们也可以试试利用方法一的思路用解析法完成。

正三角形

等边三角形也可以密铺平面，当然我们现在不讲正三角形网格，我们看一看正三角形在正方形网格中会怎么样。

1：正三角形的3个顶点不可能都在格点上

证明，假设△ABC是正三角形且顶点都在格点上。

那么△ABC的面积一定是有理数，我们可以通过三角形外接矩形求面积的方法来证明，但是格点上的正三角形的面积只能是无理数，矛盾，所以这样的三角形不存在。

2）△ABC是正三角形，A，B是格点，作求CB中垂线

做法：延长AC交网格于E，可知C为AE中点，连接EF交网格G点，AG所求。

其实不难理解，就是将一个正三角形衍生出来了多个。

3）ABC是一个边长为1的正三角形，在A点右上方构造一个点R，使得AR=7

做法：注意到 $7^2={5.5}^2+(\frac{5}{2}\sqrt{3}{)}^2$ ,那么问题就解决了。首先搞定 $(\frac{5}{2}\sqrt{3}{)}^2$

延长AC,AB得到D,E，再延长DE得到K,H，延长GD,EF得到I，J，延长KJ,IH得到L，那么L到AB的距离就是 $(\frac{5}{2}\sqrt{3}{)}^2$

接着延长JI，镜头转向右边，取PM,QO，延长QP,OM得到R点，那么AR=7