[大学资源][数学]换元求解积分 习题

第一换元法（凑微分法）习题 (10道)

• 基础： 求 $\int (5x+3{)}^{7}dx$

• 基础： 求 $\int \cos (6x)dx$

• 基础： 求 $\int e^{2x-1}dx$

• 基础： 求 $\int \frac{1}{3x-1}dx$

  $(x>\frac{1}{3})$

• 稍微变形： 求 $\int x\sqrt{1-x^2}dx$

• 稍微变形： 求 $\int \sin (x)\cos (x)dx$

(提示：可用 $\sin (2x)$ 恒等式或直接凑)

• 稍微变形： 求 $\int \frac{x+1}{x^2+2x+5}dx$

(提示：分母微分相关)

• 复合函数： 求 $\int \tan (x){\sec }^2(x)dx$

• 复合函数： 求 $\int \frac{e^x}{1+e^x}dx$

• 需要观察： 求 $\int x{e}^{x^2}dx$

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第二换元法（变量代换法）习题 (10道)

• 含根式（线性）：

求 $\int \sqrt{3x-2}dx$

$(x>\frac{2}{3})$

(令 $u=3x-2$)

• 含根式（二次）：

求 $\int x\sqrt{1-x^2}dx$  (令 $x=\sin \theta$, $-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$)

• 含根式（二次）：

求 $\int \sqrt{4+x^2}dx$  (令 $x=2\tan \theta$, $-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$)

• 含极式（二次）：

求 $\int \frac{1}{x^2\sqrt{x^2-9}}dx$

$(|x|>3)$

(令 $x=3\sec \theta$, $0<\theta <\frac{\pi }{2}$)

• 含根式（非三角）：

求 $\int x^2\sqrt{x+1}dx$  (令 $u=\sqrt{x+1}$ 或 $t=x+1$)

• 三角代换：

求 $\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}$  (令 $x=2\tan \theta$, $-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$)

• 倒代换：

求 $\int \frac{dx}{x\sqrt{4-x^2}}$

$(0<x<2)$

(令 $x=2\sin \theta$, $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ 或令 $u=\sqrt{4-x^2}$)

• 根式组合：

求 $\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx$

$(-1<x<1)$

(可令 $x=\cos (2\theta )$ 或先有理化)

• 需要配方：

求 $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4x+5}}$  (先配方: $x^2+4x+5=(x+2{)}^2+1$, 再令 $u=x+2$)

• 抽象形式：

求 $\int \frac{(x+a{)}^n}{2x+b}dx$

$(n>0)$

(可令 $u=x+a$, 此题旨在练习代换思路)

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答案与提示

#### 第一换元法答案：

• $\int (5x+3{)}^{7}dx=\frac{1}{40}(5x+3{)}^8+C$

(令 $u=5x+3$)

• $\int \cos (6x)dx=\frac{1}{6}\sin (6x)+C$

(令 $u=6x$)

• $\int e^{2x-1}dx=\frac{1}{2}{e}^{2x-1}+C$

(令 $u=2x-1$)

• $\int \frac{1}{3x-1}dx=\frac{1}{3}\ln |3x-1|+C$

(令 $u=3x-1$)

• $\int x\sqrt{1-x^2}dx=-\frac{1}{3}(1-x^2{)}^{3/2}+C$

(令 $u=1-x^2$)

• $\int \sin (x)\cos (x)dx=-\frac{1}{4}\cos (2x)+C$

(或 $\frac{1}{2}{\sin }^2(x)+C$，令 $u=\sin (x)$)

• $\int \frac{x+1}{x^2+2x+5}dx=\frac{1}{2}\ln |x^2+2x+5|+C$

(分子恰为分母导数的一半)

• $\int \tan (x){\sec }^2(x)dx=\frac{1}{2}{\tan }^2(x)+C$

(令 $u=\tan (x)$)

• $\int \frac{e^x}{1+e^x}dx=\ln |1+e^x|+C$

(令 $u=1+e^x$)

• $\int x{e}^{x^2}dx=\frac{1}{2}{e}^{x^2}+C$

(令 $u=x^2$)

#### 第二换元法答案：

• $\int \sqrt{3x-2}dx=\frac{2}{9}(3x-2{)}^{3/2}+C$

(令 $u=3x-2$)

• $\int x\sqrt{1-x^2}dx=-\frac{1}{3}(1-x^2{)}^{3/2}+C$

(三角代换 $x=\sin \theta$)

• $\int \sqrt{4+x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+4}+2\ln |x+\sqrt{x^2+4}|+C$

(标准形式，需分部积分)

• $\int \frac{1}{x^2\sqrt{x^2-9}}dx=\frac{1}{9}\cdot \frac{\sqrt{x^2-9}}{|x|}+C$

(令 $x=3\sec \theta$)

• $\int x^2\sqrt{x+1}dx=\frac{2}{7}(x+1{)}^{7/2}-\frac{4}{5}(x+1{)}^{5/2}+\frac{2}{3}(x+1{)}^{3/2}+C$

(令 $u=\sqrt{x+1}$)

• $\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}=-\frac{1}{4}\cdot \frac{\sqrt{x^2+4}}{|x|}+C$

(三角代换 $x=2\tan \theta$)

• $\int \frac{dx}{x\sqrt{4-x^2}}=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{2-\sqrt{4-x^2}}{|x|}\right|+C$

(令 $x=2\sin \theta$)

• $\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx={\sin }^{-1}x-\sqrt{1-x^2}+C$

(代换 $x=\cos (2\theta )$)

• $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4x+5}}=\ln |(x+2)+\sqrt{x^2+4x+5}|+C$

(配方后令 $u=x+2$)

• $\int \frac{(x+a{)}^n}{2x+b}dx$ 结果依赖于参数关系

(练习代换 $u=x+a$ 或分析分母)

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练习建议

• 先尝试独立求解

• 识别特征：

• 第一换元法：观察"复合函数 × 导数"结构

• 第二换元法：针对根式（如 $\sqrt{a^2\pm x^2}$）、高次分母用代换

• 熟练常用代换：

• 三角代换：$\sqrt{a^2-x^2}\to x=a\sin \theta$

$\sqrt{a^2+x^2}\to x=a\tan \theta$       $\sqrt{x^2-a^2}\to x=a\sec \theta$  

• 根式代换：如 $u=\sqrt{ax+b}$

• 注意定义域和回代：

三角代换需注意 $\theta$ 范围，结果必须换回原变量

• 验证答案：

对结果求导检查是否等于被积函数