一阶线性微分方程通解公式的推导

一阶线性微分方程的标准形式为：

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

其中，

$P(x)$

和

$Q(x)$

是已知的连续函数， y  是未知函数，需要求解  y  关于  x  的函数。通解公式为：

$$y=e^{-\int P(x)dx}(\int e^{\int P(x)dx}Q(x)dx+C)$$

其中  C  是任意常数。下面我一步步推导这个公式，使用积分因子法。

推导步骤：

1、 写出标准形式方程：

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

目标是求解$y(x)$。

2、  求积分因子：

• 积分因子$\mu (x)$是一个函数，乘以方程后能使左边成为某个函数的导数。

• 积分因子定义为：

$$\mu (x)=e^{\int P(x)dx}$$

这里，

$\int P(x)dx$

表示

$P(x)$

的一个原函数（不定积分），常数项可以忽略，因为它会在后续步骤中被吸收。

• 为什么选这个？因为$\mu (x)$的导数满足：

$$\frac{d\mu }{dx}=\frac{d}{dx}\left(e^{\int P(x)dx}\right)=e^{\int P(x)dx}\cdot P(x)=P(x)\mu (x)$$

这个性质将在下一步用到。

3、  乘以积分因子：

• 将原方程两边乘以$\mu (x)$：

$$\mu (x)\frac{dy}{dx}+\mu (x)P(x)y=\mu (x)Q(x)$$

• 左边可以写成导数的形式。根据乘积法则：

$$\frac{d}{dx}[\mu (x)y]=\mu (x)\frac{dy}{dx}+y\frac{d\mu }{dx}$$

• 代入$\frac{d\mu }{dx}=P(x)\mu (x)$：

$$\frac{d}{dx}[\mu (x)y]=\mu (x)\frac{dy}{dx}+y\cdot P(x)\mu (x)=\mu (x)\frac{dy}{dx}+P(x)\mu (x)y$$

这正是方程左边。因此，方程简化为：     \[     \frac{d}{dx} [\mu(x) y] = \mu(x) Q(x)

\]

4、  积分两边：

• 对上述方程两边关于  x  积分：

$$\int \frac{d}{dx}[\mu (x)y]dx=\int \mu (x)Q(x)dx$$

• 左边积分是导数的逆运算，所以：

$$\mu (x)y=\int \mu (x)Q(x)dx+C$$

其中  C  是积分常数（任意常数）。

5、  解出  y ：

• 将上式两边除以$\mu (x)$：

$$y=\frac{1}{\mu (x)}(\int \mu (x)Q(x)dx+C)$$

• 代入$\mu (x)=e^{\int P(x)dx}$，并注意到$\frac{1}{\mu (x)}=e^{-\int P(x)dx}$，得到：

$$y=e^{-\int P(x)dx}(\int e^{\int P(x)dx}Q(x)dx+C)$$

这就是一阶线性微分方程的通解公式。