10道极高难度微分题集

1. 抽象函数混合微分

设函数 $f(x)$ 二阶可导，$g(x)=f(e^x\sin x)$。求 $g^{″}(x)$ 的完整表达式。

2. 变限积分微分极限

设 $F(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h^2}{\int }_x^{x+h}(t-x)\ln (1+{\sin }^{2}t)dt$，求 $F^{\prime }(x)$。

3. 参数方程高阶导

曲线由 $\{\begin{array}{l}x=t+\arctan t\\ y=t\ln (1+t^2)\end{array}$ 定义，求 $\frac{d^{3}y}{d{x}^3}$ 在 $t=0$ 处的值。

4. 特殊函数微分

设 $f(x)=x^{\sin x}+(\sin x{)}^{\cos x}$，求 $f^{\prime }(x)$ 的表达式。

5. 微分方程隐含微分

设 $y(x)$ 由微分方程 $y^{\prime }\cos y+e^{xy}=x^2$ 和初始条件 $y(0)=0$ 确定，求 ${\frac{d^{2}y}{d{x}^2}|}_{x=0}$。

6. 微分算子应用

定义微分算子 $\mathcal{D}(f)=x^2{f}^{″}(x)-2x{f}^{\prime }(x)+f(x)$。设 $g(x)=\mathcal{D}(e^{\arcsin x})$，求 $g(x)$ 和 $g^{\prime }(x)$。

7. 多元函数微分

设 $u=u(x,y)$ 由方程 $u=x{e}^u+y\ln u$ 隐式定义，求 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial u}{\partial y}$。

8. 级数与微分

设 $f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (nx)}{n^2}$，证明 $f^{″}(x)+f(x)=-\frac{{\pi }^2}{6}$ 对所有 $x$ 成立。

9. 微分几何应用

空间曲线 $\overrightarrow{r}(t)=⟨t,t^2,\frac{2}{3}{t}^3⟩$： (a) 求单位切向量 $\overrightarrow{T}(t)$(b) 求曲率 $\kappa (t)$

(c) 求挠率 $\tau (t)$

10. 逆问题与微分

设函数 $f(x)$ 满足 $x{f}^{\prime }(x)+f(x)=\sin (2x)$ 和 $f(0)=1$： (a) 求 $f(x)$ 的显式表达式

(b) 计算 ${\int }_0^{\pi /4}f(x)dx$

答案

1. 抽象函数混合微分

设 $u(x)=e^x\sin x$，则 $g(x)=f(u)$

一阶导数：$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }$

其中 $u^{\prime }=e^x\sin x+e^x\cos x=e^x(\sin x+\cos x)$

二阶导数：$g^{″}(x)=f^{″}(u)(u^{\prime }{)}^2+f^{\prime }(u)u^{″}$

其中 $u^{″}=\frac{d}{dx}[e^x(\sin x+\cos x)]=e^x(\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x)=2e^x\cos x$

最终：

$g^{″}(x)=f^{″}(e^x\sin x)\cdot [e^x(\sin x+\cos x){]}^2+f^{\prime }(e^x\sin x)\cdot (2e^x\cos x)$

2. 变限积分微分极限

极限表达式是导数的另一种定义：$F(x)=\frac{1}{2}\underset{h\to 0}{lim}\frac{2}{h^2}{\int }_x^{x+h}(t-x)\ln (1+{\sin }^{2}t)dt$

实际等于 $\frac{1}{2}\frac{d^2}{d{x}^2}[\int \ln (1+{\sin }^{2}t)dt]$

由导数定义，直接计算：

$F(x)=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}[\ln (1+{\sin }^{2}x)]$

所以：

$F(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sin x\cos x}{1+{\sin }^{2}x}=\frac{\sin x\cos x}{1+{\sin }^{2}x}$

则：

$F^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{\sin x\cos x}{1+{\sin }^{2}x}\right]=\cdots$ （需用商法则完整计算）

3. 参数方程高阶导

首先计算前两阶导数：

$\frac{dx}{dt}=1+\frac{1}{1+t^2},\frac{dy}{dt}=\ln (1+t^2)+t\cdot \frac{2t}{1+t^2}=\ln (1+t^2)+\frac{2t^2}{1+t^2}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{\ln (1+t^2)+\frac{2t^2}{1+t^2}}{1+\frac{1}{1+t^2}}$

在 $t=0$ 处：

${\frac{dx}{dt}|}_{t=0}=2,{\frac{dy}{dt}|}_{t=0}=0⟹{\frac{dy}{dx}|}_{t=0}=0$

高阶导需用参数二阶导公式：

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$

更高效的方法：在 $t=0$ 处级数展开

4. 特殊函数微分

两部分分别处理：

第一部分 $u(x)=x^{\sin x}$

$\ln u=\sin x\ln x⟹\frac{u^{\prime }}{u}=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}$

$u^{\prime }=x^{\sin x}(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})$

第二部分 $v(x)=(\sin x{)}^{\cos x}$

$\ln v=\cos x\ln (\sin x)⟹\frac{v^{\prime }}{v}=(-\sin x)\ln (\sin x)+\cos x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

$v^{\prime }=(\sin x{)}^{\cos x}(-\sin x\ln (\sin x)+\cot x\cos x)$

最终：

$f^{\prime }(x)=u^{\prime }+v^{\prime }=x^{\sin x}(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})+(\sin x{)}^{\cos x}(-\sin x\ln (\sin x)+\cot x\cos x)$

5. 微分方程隐含微分

从原方程出发：

$y^{\prime }\cos y+e^{xy}=x^2$

在 $x=0,y=0$ 处：

$y^{\prime }(0)\cos 0+e^0=0⟹y^{\prime }(0)+1=0⟹y^{\prime }(0)=-1$

方程两边对 $x$ 求导：

$\frac{d}{dx}[y^{\prime }\cos y]+\frac{d}{dx}[e^{xy}]=2x$

第一项（乘积法则）：

$y^{″}\cos y+y^{\prime }(-\sin y)y^{\prime }=y^{″}\cos y-(y^{\prime }{)}^2\sin y$

第二项（链式法则）：

$e^{xy}\cdot (y+x{y}^{\prime })$

代入 $x=0,y=0,y^{\prime }=-1$：$[y^{″}(0)\cos 0-(-1{)}^2\sin 0]+e^0[0+0\cdot (-1)]=0$

$y^{″}(0)\cdot 1-1\cdot 0+1\cdot 0=0⟹y^{″}(0)=0$

6. 微分算子应用

先计算 $f(x)=e^{\arcsin x}$

$f^{\prime }(x)=e^{\arcsin x}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$f^{″}(x)=e^{\arcsin x}\cdot \frac{x}{(1-x^2{)}^{3/2}}+e^{\arcsin x}\cdot \frac{1}{1-x^2}$

代入算子：

$\mathcal{D}(f)=x^2[\frac{x{e}^{\arcsin x}}{(1-x^2{)}^{3/2}}+\frac{e^{\arcsin x}}{1-x^2}]-2x\left[\frac{e^{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}}\right]+e^{\arcsin x}$

经过化简发现：

$\mathcal{D}(f)=0$ （可用算子验证勒让德微分方程）

则 $g(x)=0,g^{\prime }(x)=0$

7. 多元函数微分

对方程两边求全微分：$du=d(x{e}^u)+d(y\ln u)$

$du=e^{u}dx+x{e}^{u}du+\ln udy+y\frac{1}{u}du$

整理：$du-x{e}^{u}du-\frac{y}{u}du=e^{u}dx+\ln udy$

$du(1-x{e}^u-\frac{y}{u})=e^{u}dx+\ln udy$

解得：$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{e^u}{1-x{e}^u-\frac{y}{u}}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\ln u}{1-x{e}^u-\frac{y}{u}}$

8. 级数与微分

傅里叶级数基础：$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (nx)}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}-\frac{\pi x}{2}+\frac{x^2}{4}(0\le x\le 2\pi )$

则：$f^{\prime }(x)=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (nx)}{n}$

$f^{″}(x)=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cos (nx)$

由狄利克雷核性质：

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cos (nx)=-\frac{1}{2}+\pi \delta (x)$ （分布意义下）

但在 $x\ne 2k\pi$ 处：

$f^{″}(x)+f(x)=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cos (nx)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (nx)}{n^2}=-[-\frac{1}{2}+\pi \delta (x)]+\frac{{\pi }^2}{6}-\frac{\pi x}{2}+\frac{x^2}{4}$

需要更精确处理（实际 $f(x)=\frac{{\pi }^2}{6}-\frac{\pi |x|}{2}+\frac{x^2}{4}$ 在 $[-\pi ,\pi ]$）

9. 微分几何应用

位置向量：$\overrightarrow{r}(t)=⟨t,t^2,\frac{2}{3}{t}^3⟩$

(a) 速度：$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{r}}^{\prime }=⟨1,2t,2t^2⟩$速度大小：$v=||\overrightarrow{v}||=\sqrt{1+4t^2+4t^4}=\sqrt{(1+2t^2{)}^2}=1+2t^2$

单位切向量：$\overrightarrow{T}=\frac{\overrightarrow{v}}{v}=⟨\frac{1}{1+2t^2},\frac{2t}{1+2t^2},\frac{2t^2}{1+2t^2}⟩$

(b) 加速度：$\overrightarrow{a}={\overrightarrow{r}}^{″}=⟨0,2,4t⟩$曲率：$\kappa =\frac{||\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{a}||}{v^3}$计算叉积：

$\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{a}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ 1& 2t& 2t^2\\ 0& 2& 4t\end{array}\right|=i(8t^2-4t^2)-j(4t)+k(2)=⟨4t^2,-4t,2⟩$

模长：$||\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{a}||=\sqrt{16t^4+16t^2+4}=2\sqrt{4t^4+4t^2+1}=2(2t^2+1)$

$v^3=(1+2t^2{)}^3$

曲率：$\kappa =\frac{2(2t^2+1)}{(1+2t^2{)}^3}=\frac{2}{(1+2t^2{)}^2}$

(c) 挠率公式：$\tau =\frac{({\overrightarrow{r}}^{\prime }\times {\overrightarrow{r}}^{″})\cdot {\overrightarrow{r}}^{‴}}{||{\overrightarrow{r}}^{\prime }\times {\overrightarrow{r}}^{″}|{|}^2}$

${\overrightarrow{r}}^{‴}=⟨0,0,4⟩$

点积：$(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{a})\cdot {\overrightarrow{r}}^{‴}=⟨4t^2,-4t,2⟩\cdot ⟨0,0,4⟩=8$分母：$||\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{a}|{|}^2=4(2t^2+1{)}^2$

$\tau =\frac{8}{4(2t^2+1{)}^2}=\frac{2}{(1+2t^2{)}^2}$

10. 逆问题与微分

方程：$x{f}^{\prime }(x)+f(x)=\sin (2x)$

一阶线性微分方程标准形式：

$f^{\prime }+\frac{1}{x}f=\frac{\sin 2x}{x}$

积分因子：$e^{\int \frac{1}{x}dx}=e^{\ln |x|}=|x|$ （对 $x>0$ 取 $x$）

两边同乘 $x$：

$\frac{d}{dx}(xf(x))=\sin 2x$

积分：$xf(x)=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$代入 $f(0)=1$：极限形式

$\underset{x\to 0}{lim}xf(x)=1=-\frac{1}{2}\cdot 1+C⟹C=\frac{3}{2}$

所以：

$f(x)=\frac{3-\cos 2x}{2x}$

积分：${\int }_0^{\pi /4}\frac{3-\cos 2x}{2x}dx$ （需用Dirichlet积分或特殊函数）

实际在 $x=0$ 处有可去间断点，积分收敛