[初中资源][数学]格点作图问题的技巧（四）

这一次我来讲讲三角形中的等角共轭点,在网格中的绘制,如果你没看之前的文章,最好先到我的专栏里面去看之前的文章.。

等角共轭点

定义,如图,在△ABC中有两点D,E,如果同时满足∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠CBE,∠BCD=∠ACE这三个条件,那么E就是D关于△ABC的等角共轭点

可以证明,这三个条件只要满足其中两个,那么剩下的那个也成立.

(1)求作D关于△ABC的等角共轭点

做法：作∠B的角平分线BE,再作D关于BE的对称点I（作法之前有说过）

不难得到∠ABD=∠CBI，所以等角共轭点一定在BI上。接着我们连接CD,DH,得到 $\tan \mathrm{\angle }���=\frac{2}{5}$ ,所以我们也要以AC为边作一个tan值为 $\frac{2}{5}$ 的角

我们延长CA到J,连接JK,∴∠KJC=90°并且KJ:JC=2:5,所以 $\tan \mathrm{\angle }���=\frac{2}{5}=\tan \mathrm{\angle }���$ 所以 $\mathrm{\angle }���=\mathrm{\angle }���$

所以共轭点也在CK上,也就在BI与KC的交点

(2)做D关于△ABC的等角共轭点

作法:不难得 $\tan \mathrm{\angle }���=\frac{1}{2}$ ,我们连接AE,CE得到∠ACE=90°,并且AC:CE=2:1,这样 $\tan \mathrm{\angle }���=\tan \mathrm{\angle }���\Rightarrow \mathrm{\angle }���=\mathrm{\angle }���$

共轭点就在AE上，接着 $\tan \mathrm{\angle }���=\frac{1}{5}$

同理连接CF,取与网格交点G,这样 $\tan \mathrm{\angle }���=\frac{1}{5}$ ,所以共轭点也在BG上，所以共轭点是H

（3）当三角形三条线都不水平或者竖直时，这个问题就显得十分复杂,下面这一题就留给大家自行思考了.

（4）共轭重心：当G'点是三角形重心关于三角形的等角共轭点时,则G'是三角形的共轭重心.

作出△ABC的共轭重心

做法（1）：先找出重心,再按之前的方法找共轭点（不演示）

做法（2）:向三角形三边向外做正方形。

延长DE,FG,HI,交于M,L两点,MB,LC交于点N，N就是△ABC的共轭重心

注,向内作正方形也可以.

自此，如果一个三角形三个点都在格点上或者是两条格点连线的交点上,那么我们一定可以找到这个三角形的：垂心、外心、重心、共轭重心。 对于内心与旁心，在一般情况下是找不到的，我们的工具只有尺子，如果没有别的东西，我们得到的永远的只是一次方程。所以事实上有很多东西做不到，很多角度都无法构造，比如30°。如果有一个辅助圆以及圆心的话，只用一把尺子就可以做出尺规作图可以做出的内容，包括角平分线，当然那就是另外一个内容了。

其实三角形还有很多巧合点，比如垂极点，费马点，热岗尔点。其中一些可以做到，比如垂极点，但我们大部分做不到的，所以说我估计我们到达了尽头。

另外对于天津的中考题，它往往都结合题型出题比如将军饮马，胡不归，隐圆等，但我的目的还是记载我所发现的作图方法，所以我并没有太多提及这方面。

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