[ZihanLab周报#10]一阶线性微分方程通解公式推导

1. 标准形式方程

目标是求 。

2. 求积分因子

• 积分因子 是一个函数，乘以方程后能使左边成为某个函数的导数

• 积分因子定义为：

  这里 表示 的一个原函数（常数项可忽略）

• 为什么选这个？ 因为 的导数满足：

  这个性质将在下一步用到

3. 乘以积分因子

• 原方程两边乘以 ：

• 左边可写成导数形式。根据乘积法则：

• 代入 ：

  这正是方程左边，因此方程简化为：

4. 积分两边

• 对上述方程两边关于 积分：

• 左边积分是导数的逆运算，所以：

  其中 是积分常数

5. 解出

• 两边除以 ：

• 代入 ，并注意到 ，得到：

这就是一阶线性微分方程的通解公式。