一、具象化推导

1、分析流体微元的能量变化

假设流体微元的体积为 ，质量为 （ 是流体密度）。

动能变化：当微元从A点（速度为 ）运动到B点（速度为 ），动能变化为：

重力势能变化：B点的高度 低于A点的高度 ，重力势能减少：

因为 ，所以 是负值，表示势能减少。

2、分析外力对微元做的功

在理想流体（无粘性）中，作用在微元上的力只有：压力和重力。

重力做的功已经包含在势能变化中，只需要计算压力做的功。

计算压力总功： 在A点，后面的流体以压力 向前推，做正功：

在B点，前面的流体以压力 阻挡，做负功：

根据不可压缩流体的连续性原理，流入A截面的流体体积等于流出B截面的体积：

压力做的总功为：

3、应用功能原理并推导方程

外力（压力）做的总功转化为流体微元的机械能变化：

代入各项表达式：

两边同时除以 ：

重新整理项：

即：

二、理解性推导

考虑理想流体沿一流线流动。取一微小流体微元，长度为 ，横截面积为 ，体积为 。微元的质量为 。

1、受力分析

压力力

微元上游面压力为 ，下游面压力为 ，因此净压力力在流动方向（ 方向）为：

重力

重力大小为 ，方向竖直向下。在流动方向的分量为 ，其中 是流线与水平面的夹角。由于 （ 为高度），故重力分量为：

总合力

2、运动方程

微元的加速度在流动方向为 。由于速度 ，加速度可写为：

牛顿第二定律给出：

代入表达式：

两边除以 （假设 ）：

重新排列项：

两边乘以 ：

3、积分

假设密度 为常数，对上述微分方程积分：

计算积分：

即：