一元三次方程求根公式推导

方程形式

一元三次方程的一般形式为：

第一步：消去二次项

通过代换 消去二次项。

代入原方程：

展开并化简后得到：

令：

方程化为缺项形式：

第二步：卡尔丹方法

设 ，代入方程：

展开：

选择 和 满足 ，即：

则方程简化为：

同时：

因此， 和 是二次方程：

的根。解得：

令：

则：

取立方根：

所以：

回代 ：

第三步：用原系数表示

将 和 的表达式代入：

计算 ：

计算 ：

计算 ：

化简：

通分（）：

计算立方根内的表达式：

取立方根：

代入 的表达式：

合并：

第四步：三个根的完整表达式

引入三次单位根 ，则三个根为：

其中 。