[ZihanLab周报#15]宇宙速度的推导

第一宇宙速度（环绕速度）

定义

物体在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动所需的最小速度。

推导过程

根据万有引力提供向心力：

其中：

• = 万有引力常数

• = 地球质量

• = 物体质量

• = 地球半径

• = 第一宇宙速度

简化得：

由重力加速度 得 ，代入上式：

最终表达式

数值计算

取 ，：

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第二宇宙速度（逃逸速度）

定义

物体完全摆脱地球引力束缚所需的最小初速度。

推导过程

根据机械能守恒定律，取无穷远处为零势能点：

发射时机械能：

无穷远处机械能：

由机械能守恒：

解得：

代入 ：

最终表达式

数值计算

---

第三宇宙速度（太阳系逃逸速度）

定义

在地球上发射的物体摆脱太阳引力束缚，飞出太阳系所需的最小初速度。

推导过程

设地球半径为 ，地球表面重力加速度为 ，太阳质量为 ，日地距离为 。

物体从地球表面发射，需要同时克服地球引力和太阳引力。考虑能量守恒：

物体脱离地球引力后，剩余动能为 ，其中 是物体相对于地球的速度。初始动能 用于克服地球引力做功 ，因此：

即：

物体脱离地球后，在地球轨道上绕太阳运动。地球绕太阳的公转速度为：

太阳的逃逸速度（在地球轨道处）为：

为使物体脱离太阳引力，物体相对于太阳的速度至少需达到 。通常选择沿地球公转方向发射，以充分利用地球的公转速度。设物体脱离地球后相对于地球的速度为 ，则相对于太阳的速度为 。需满足：

取最小值：

代入 得：

最终表达式

数值计算

已知：

计算：

取近似值 。

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总结

速度	最终表达式	数值 (km/s)	物理意义
第一宇宙速度		7.9	环绕地球
第二宇宙速度		11.2	脱离地球
第三宇宙速度		16.7	脱离太阳系